あじばこ　定期テスト

Question

数学

\(\sin\theta+\cos\theta=\tfrac{2}{3}\) であるとき、 \(\sin\theta\cos\theta=\) -である。
また、\(\sin^3\theta+\cos^3\theta=\) である。

\(-\tfrac{5}{18},\tfrac{23}{27}\)
\(-\tfrac{4}{9},\tfrac{8}{27}\)
\(-\tfrac{5}{18},\tfrac{8}{27}\)
\(-\tfrac{4}{9},\tfrac{23}{27}\)

正解と解説を見る

正解Correct

1

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) が利用できるので、前半は \(\sin\theta+\cos\theta=\tfrac{2}{3}\) の両辺を 2 乗して計算する。 \( \sin\theta\cos\theta=-\tfrac{5}{18} \) 後半は因数分解の公式を用いて 3 次式を \((1 次式)\times(2 次式)\) の形に変形してから値を代入するとよい。 \( \sin^3\theta+\cos^3\theta=\tfrac{23}{27} \)

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

1

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) が利用できるので、前半は \(\sin\theta+\cos\theta=\tfrac{2}{3}\) の両辺を 2 乗して計算する。 \( \sin\theta\cos\theta=-\tfrac{5}{18} \) 後半は因数分解の公式を用いて 3 次式を \((1 次式)\times(2 次式)\) の形に変形してから値を代入するとよい。 \( \sin^3\theta+\cos^3\theta=\tfrac{23}{27} \)

次の問題

Question

数学

二次関数 \(y=ax^2+bx+3\) のグラフを \(x\) 軸方向に \(2\)、\(y\) 軸方向に \(k\) だけ平行移動すると、\(y=2x^2-3x+4\) のグラフに一致した。このとき \(a=\), \(b=\), \(k=\) である。

\(a=2, b=5, k=3\)
\(a=2, b=-11, k=15\)
\(a=2, b=11, k=15\)
\(a=2, b=5, k=-3\)

正解と解説を見る

正解Correct

1

平行移動後の式を平方完成して係数を比較する。 \[ y=a(x-2)^2+b(x-2)+3+k =ax^2+(-4a+b)x+(4a-2b+3+k) \] これが \(2x^2-3x+4\) に一致するので \( a=2,\quad -4a+b=-3,\quad 4a-2b+3+k=4 \) より \( a=2,\quad b=5,\quad k=3. \)

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

1

平行移動後の式を平方完成して係数を比較する。 \[ y=a(x-2)^2+b(x-2)+3+k =ax^2+(-4a+b)x+(4a-2b+3+k) \] これが \(2x^2-3x+4\) に一致するので \( a=2,\quad -4a+b=-3,\quad 4a-2b+3+k=4 \) より \( a=2,\quad b=5,\quad k=3. \)

次の問題

Question

数学

関数 \(f(\theta)=5\sin^2\theta-3\cos\theta-3\) において，\(\theta\) は \(0≦ \theta≦ \pi\) の範囲を動く。
\(f(\theta)=0\) のとき，\(\cos\theta\) の値は \(\cos\theta=\) または \(\cos\theta=\) である。
また，\(f(\theta)\) が最大となるときの \(\cos\theta\) の値は \(\cos\theta=\) である。

\(\cos\theta=-1 \text{ または } -\tfrac{2}{5},\cos\theta=\tfrac{3}{10}\)
\(\cos\theta=-1 \text{ または } \tfrac{2}{5},\cos\theta=-\tfrac{3}{10}\)
\(\cos\theta=\tfrac{2}{5} \text{ のみ},\cos\theta=-\tfrac{3}{10}\)
\(\cos\theta=-1 \text{ または } \tfrac{2}{5},\cos\theta=\tfrac{3}{10}\)

正解と解説を見る

正解Correct

2

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) を利用して，\(t=\cos\theta\) として \(f(\theta)\) を \(t\) の 2 次関数とする。あとは，\(\theta\) の範囲と \(t\) の範囲の関係に注意して，2次方程式を解く。 \(f(\theta)=0\) のとき，\(\cos\theta=-1\) または \(\cos\theta=\tfrac{2}{5}\)（答）。また 2 次関数を平方完成することで，最大値について考えていけばよい。 \(\cos\theta=-\tfrac{3}{10}\)（答）。

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

2

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) を利用して，\(t=\cos\theta\) として \(f(\theta)\) を \(t\) の 2 次関数とする。あとは，\(\theta\) の範囲と \(t\) の範囲の関係に注意して，2次方程式を解く。 \(f(\theta)=0\) のとき，\(\cos\theta=-1\) または \(\cos\theta=\tfrac{2}{5}\)（答）。また 2 次関数を平方完成することで，最大値について考えていけばよい。 \(\cos\theta=-\tfrac{3}{10}\)（答）。

次の問題

Question

数学

2 つの不等式 \(x^2-10x-24>0,\ (x+1)\,(x-a^2-a)<0\) が同時に成り立つ \(x\) が存在しないとき，定数 \(a\) の値の範囲は \(≦a≦\) である。

\(-2≦a≦12\)
\(-3≦a≦4\)
\(-4<a≦3\)
\(-4≦a≦3\)

正解と解説を見る

正解Correct

4

\(x^2-10x-24>0\) を解くと \(x\lt -2,\ 12\lt x\) であるから，\(-1\) と \(a^2+a\) の間の範囲がこの範囲に共通部分を持たない，つまり \(-2≦ a^2+a≦ 12\) となる \(a\) を求めれば良い。左側の不等式は常に成り立ち，右側の不等式を解くと \(-4≦ a≦ 3\) になり，これはすべて \(-2≦ a^2+a≦ 12\) に含まれるので \(-4≦ a≦ 3\)（答）。範囲に含まれるかどうかの考察には数直線を使うとよい。

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

4

\(x^2-10x-24>0\) を解くと \(x\lt -2,\ 12\lt x\) であるから，\(-1\) と \(a^2+a\) の間の範囲がこの範囲に共通部分を持たない，つまり \(-2≦ a^2+a≦ 12\) となる \(a\) を求めれば良い。左側の不等式は常に成り立ち，右側の不等式を解くと \(-4≦ a≦ 3\) になり，これはすべて \(-2≦ a^2+a≦ 12\) に含まれるので \(-4≦ a≦ 3\)（答）。範囲に含まれるかどうかの考察には数直線を使うとよい。

次の問題

Question

数学

\(\dfrac{1+2i}{3+ki}\) が純虚数となるとき、実数 \(k\) の値として正しいものを選びなさい。

\(\tfrac{3}{2}\)
\(-3\)
\(0\)
\(-\tfrac{3}{2}\)

正解と解説を見る

正解Correct

4

分母と共役な複素数 \((3-ki)\) を、分母と分子にかけて計算。すると、分母から虚数部分（\(i\)を含む項）が無くなり、実数になる。純虚数となるためには、分子の実数部分が\(0\)になるような実数\(k\)を求めればよい。
\(k = -\tfrac{3}{2}\)（答）。

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

4

分母と共役な複素数 \((3-ki)\) を、分母と分子にかけて計算。すると、分母から虚数部分（\(i\)を含む項）が無くなり、実数になる。純虚数となるためには、分子の実数部分が\(0\)になるような実数\(k\)を求めればよい。
\(k = -\tfrac{3}{2}\)（答）。

次の問題

Question

数学

三角形 \(ABC\) において，\(AB=5,\,BC=6,\,CA=7\) とする。このとき，\(\cos\angle ABC=\) であり，三角形 \(ABC\) の面積は \(\triangle ABC=\) である。

\(\tfrac{1}{6},\ 6\sqrt{6}\)
\(\tfrac{1}{5},\ 3\sqrt{6}\)
\(\tfrac{2}{5},\ 6\sqrt{6}\)
\(\tfrac{1}{5},\ 6\sqrt{6}\)

正解と解説を見る

正解Correct

4

前半は三角形の３辺の長さがわかっている状態で角度について求めるため，余弦定理を利用する。 \(\cos\angle ABC=\dfrac{1}{5}\)（答）。後半は三角形の面積の公式を利用するために，\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) を利用して \(\sin\angle ABC\) を求めるとよい。面積は \(S=\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot \dfrac{2\sqrt{6}}{5}=6\sqrt{6}\)（答）と求められる。

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

4

前半は三角形の３辺の長さがわかっている状態で角度について求めるため，余弦定理を利用する。 \(\cos\angle ABC=\dfrac{1}{5}\)（答）。後半は三角形の面積の公式を利用するために，\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) を利用して \(\sin\angle ABC\) を求めるとよい。面積は \(S=\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 6\cdot \dfrac{2\sqrt{6}}{5}=6\sqrt{6}\)（答）と求められる。

次の問題

Question

数学

\(x,y\) についての式\(P=x^2-6xy+10y^2-4y+4\)は\(P=\)\( (x-\) \(y)^2 + (y-\) \()^2 \)と表すことができるから，\(P=0\) を満たす実数 \(x,y\) の値は\(x=\) ， \(y=\) である。

\(P=(x-2y)^2+(y-2)^2 , x=4 , y=2\)
\(P=(x-3y)^2+(y+2)^2 , x=6 , y=-2\)
\(P=(x-3y)^2+(y-2)^2 , x=6 , y=2\)
\(P=(x-3y)^2+(y-2)^2 , x=3 , y=1\)

正解と解説を見る

正解Correct

3

まず \(P\) を \(x\) の 2 次式とみて平方完成し，2 乗でまとめられなかった部分を \(y\) の 2 次式とみて因数分解する。 \( P=(x-3y)^2+(y-2)^2 \quad (\text{答}) \) 次に，変形した \(P\) の式が \((x-3y)^2≧0\)，\((y-2)^2≧0\) であることに着目すると， \(x-3y,\ y-2\) のどちらも 0 にならないと，\(P=0\) を満たさないことがわかる。よって \( x=6,\quad y=2 \quad (\text{答}) \)

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

3

まず \(P\) を \(x\) の 2 次式とみて平方完成し，2 乗でまとめられなかった部分を \(y\) の 2 次式とみて因数分解する。 \( P=(x-3y)^2+(y-2)^2 \quad (\text{答}) \) 次に，変形した \(P\) の式が \((x-3y)^2≧0\)，\((y-2)^2≧0\) であることに着目すると， \(x-3y,\ y-2\) のどちらも 0 にならないと，\(P=0\) を満たさないことがわかる。よって \( x=6,\quad y=2 \quad (\text{答}) \)

次の問題

Question

数学

\(xy\) 平面上に 2 点 \(P(-1,0),\ Q(1,0)\) がある。\(a,\ b\) を実数として，方程式 \( (x-a)^2+(y-b)^2=4 \) によって表される円が線分 \(PQ\) と共有点を持つとする。 \(b\) がとり得る値の最大値はである。

\(-2\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)

正解と解説を見る

正解Correct

4

方程式によって表された円は，\((a,b)\) 中心，半径 \(2\) の円である。線分と円が共有するには，線分と中心の距離が円の半径以下であることが必要であるから，\(-2≦ b≦ 2\) が必要である。あとは，\(b=2\) となる具体的な円があることを示せば良く，例えば \((0,2)\) に中心を持つ半径 \(2\) の円は原点で線分と共有する。以上より \(b\) の最大値は \(2\)（答）。

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

4

方程式によって表された円は，\((a,b)\) 中心，半径 \(2\) の円である。線分と円が共有するには，線分と中心の距離が円の半径以下であることが必要であるから，\(-2≦ b≦ 2\) が必要である。あとは，\(b=2\) となる具体的な円があることを示せば良く，例えば \((0,2)\) に中心を持つ半径 \(2\) の円は原点で線分と共有する。以上より \(b\) の最大値は \(2\)（答）。

次の問題

Question

数学

数列 \(\{a_n\}\) は，初項が \(a_1=2\) であり，第2項以降は漸化式 \( a_{n+1}=\frac{3a_n-2}{2a_n-1} \) で与えられる。以下でこの数列の一般項 \(a_n\) を求める。数列 \(b_n=a_n-1\) は，初項が \( b_1 = \boxed{\phantom{0}} \)であり，第2項以降は漸化式 \( b_{n+1}=\frac{b_n}{2b_n+\boxed{\phantom{00}}} \) を満たす。初項と漸化式から，\(b_n>0\) が成り立つ。

\(b_1=2,\ b_{n+1}=\tfrac{b_n}{b_n+1}\)
\(b_1=1,\ b_{n+1}=\tfrac{b_n}{3b_n+1}\)
\(b_1=2,\ b_{n+1}=\tfrac{b_n}{2b_n+3}\)
\(b_1=1,\ b_{n+1}=\tfrac{b_n}{2b_n+1}\)

正解と解説を見る

正解Correct

4

\(b_1=a_1-1=1\)（答）。漸化式を変形して \(a_{n+1}-1\) や \(a_{n-1}\) を作りたいので，両辺から 1 を引いて右辺を変形する。 \( a_{n+1}-1 = \frac{3a_n-2}{2a_n-1}-1 =\frac{a_n-1}{2a_n-1} = \frac{a_n-1}{2(a_n-1)+1} \) より \(b_{n+1}=\frac{b_n}{2b_n+1}\)（答）。このように，求めたい式の形を優先して作り，他の部分を調整する変形の仕方は頻出である。

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

4

\(b_1=a_1-1=1\)（答）。漸化式を変形して \(a_{n+1}-1\) や \(a_{n-1}\) を作りたいので，両辺から 1 を引いて右辺を変形する。 \( a_{n+1}-1 = \frac{3a_n-2}{2a_n-1}-1 =\frac{a_n-1}{2a_n-1} = \frac{a_n-1}{2(a_n-1)+1} \) より \(b_{n+1}=\frac{b_n}{2b_n+1}\)（答）。このように，求めたい式の形を優先して作り，他の部分を調整する変形の仕方は頻出である。

次の問題

Question

数学

\(x=\sqrt{7+2\sqrt{10}},\ \ y=\sqrt{7-2\sqrt{10}}\) のとき，
\(x^2-xy+y^2=\) ,\(x+y=\)である。

\(11,\ 3\sqrt{5}\)
\(9,\ 2\sqrt{5}\)
\(11,\ 2\sqrt{5}\)
\(11,\ \sqrt{20}\)

正解と解説を見る

正解Correct

3

ルート記号の中で積を計算することで \(xy=3\)，それぞれ 2 乗して \(x^2=7+2\sqrt{10},\ y^2=7-2\sqrt{10}\) であるから， \(x^2-xy+y^2=11\)（答）。基本対称式 \(x+y,\ xy\) を用いて \(x^2-xy+y^2\) を表すと， \(x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy\) であるから，これを \(x+y>0\) に注意して \(x+y\) について解いて \(x+y=2\sqrt{5}\)（答）。

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

3

ルート記号の中で積を計算することで \(xy=3\)，それぞれ 2 乗して \(x^2=7+2\sqrt{10},\ y^2=7-2\sqrt{10}\) であるから， \(x^2-xy+y^2=11\)（答）。基本対称式 \(x+y,\ xy\) を用いて \(x^2-xy+y^2\) を表すと， \(x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy\) であるから，これを \(x+y>0\) に注意して \(x+y\) について解いて \(x+y=2\sqrt{5}\)（答）。

テスト結果を見る