あじばこ　定期テスト

Question

数学

\(i+i^3=\) である。また，\(i^2+i^4=\) である。これより，\(-i+i^2-i^3+i^4+\cdots+i^{2022}-i^{2023}+i^{2024}-i^{2025}=\)\(i\) である。

\(0,\ 1,\ -1\)
\(0,\ 0,\ -1\)
\(1,\ 0,\ -i\)
\(-1,\ 0,\ 1\)

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正解Correct

2

\(i^2=-1\) に注意する。 \(i^3=i\times i^2=-i\) より \(i+i^3=0\)（答）。さらに両辺に \(i\) をかけると \(i^2+i^4=0\)（答）。これらを用いると \(i^{4n+1}\) から \(i^{4n+4}\) までの4つを1かたまりでみたときに，これらの和はすべて0になることがわかる。和の計算においてもこれを用いると，注目するのは \(-i^{2025}\) のみであることがわかる。 \(i^4=(-1)^2=1\) であるから \[ -i^{2025}=-i\times i^{2024}=-i\times(i^4)^{506}=-i\times1^{506}=-i\ \text{（答）}。 \]

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

2

\(i^2=-1\) に注意する。 \(i^3=i\times i^2=-i\) より \(i+i^3=0\)（答）。さらに両辺に \(i\) をかけると \(i^2+i^4=0\)（答）。これらを用いると \(i^{4n+1}\) から \(i^{4n+4}\) までの4つを1かたまりでみたときに，これらの和はすべて0になることがわかる。和の計算においてもこれを用いると，注目するのは \(-i^{2025}\) のみであることがわかる。 \(i^4=(-1)^2=1\) であるから \[ -i^{2025}=-i\times i^{2024}=-i\times(i^4)^{506}=-i\times1^{506}=-i\ \text{（答）}。 \]

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Question

数学

\(200\) 以下の自然数のうち，\(4\) の倍数全体の集合を \(A\)，\(5\) の倍数全体の集合を \(B\)，\(6\) の倍数全体の集合を \(C\) とする。このとき，\(A\cap B\cap C\) の要素の個数は， \((A\cap B)\cup C\) の要素の個数はである。

\(3,\ 33\)
\(10,\ 40\)
\(3,\ 43\)
\(3,\ 40\)

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正解Correct

4

\(A\cap B\cap C\) は，\(4\) の倍数，かつ \(5\) の倍数，かつ \(6\) の倍数，すなわち \(60\) の倍数全体の集合であるから，\(3\) 個（答）。 \((A\cap B)\cup C\) の要素の個数を求めるには，\(n(X\cup Y)=n(X)+n(Y)-n(X\cap Y)\) を用いればよく， \(A\cap B\) が \(20\) の倍数全体の集合であることに注意すると \(10+33-3=40\) 個（答）。

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

4

\(A\cap B\cap C\) は，\(4\) の倍数，かつ \(5\) の倍数，かつ \(6\) の倍数，すなわち \(60\) の倍数全体の集合であるから，\(3\) 個（答）。 \((A\cap B)\cup C\) の要素の個数を求めるには，\(n(X\cup Y)=n(X)+n(Y)-n(X\cap Y)\) を用いればよく， \(A\cap B\) が \(20\) の倍数全体の集合であることに注意すると \(10+33-3=40\) 個（答）。

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Question

数学

△\(OAB\) において，\(OA=2\)，\(OB=3\)，\(\angle AOB=60^\circ\) とすると \(AB=\)である。また，\(\angle AOB\) の二等分線と辺 \(AB\) の交点を \(P\) とおくと \(AP=\), \(OP=\) である。

\(AB=\sqrt{6},\ AP=\tfrac{3\sqrt{6}}{5},\ OP=\tfrac{6\sqrt{3}}{5}\)
\(AB=\sqrt{7},\ AP=\tfrac{2\sqrt{7}}{5},\ OP=\tfrac{3\sqrt{3}}{5}\)
\(AB=\sqrt{5},\ AP=\tfrac{2\sqrt{5}}{5},\ OP=\tfrac{6\sqrt{3}}{5}\)
\(AB=\sqrt{7},\ AP=\tfrac{2\sqrt{7}}{5},\ OP=\tfrac{6\sqrt{3}}{5}\)

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正解Correct

4

余弦定理を用いて \(AB\) を求めると \(AB=\sqrt{7}\)（答）。角の二等分線の性質により \(AP:PB=2:3\) とわかるので \(AP=\dfrac{2}{5}AB=\dfrac{2\sqrt{7}}{5}\)（答）。 \(OP\) を直接求めようとすると余弦定理による計算等が必要で計算量が多くなる。ここでは， \(\triangle OAB=\triangle OAP+\triangle OBP\) と， \(\triangle OAB\) の面積を 2 通りで表すことで \(OP\) を求めると良い。 \(OP=\dfrac{6\sqrt{3}}{5}\)（答）。

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

4

余弦定理を用いて \(AB\) を求めると \(AB=\sqrt{7}\)（答）。角の二等分線の性質により \(AP:PB=2:3\) とわかるので \(AP=\dfrac{2}{5}AB=\dfrac{2\sqrt{7}}{5}\)（答）。 \(OP\) を直接求めようとすると余弦定理による計算等が必要で計算量が多くなる。ここでは， \(\triangle OAB=\triangle OAP+\triangle OBP\) と， \(\triangle OAB\) の面積を 2 通りで表すことで \(OP\) を求めると良い。 \(OP=\dfrac{6\sqrt{3}}{5}\)（答）。

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Question

数学

数列 \(\{a_n\}\) は，初項が \(a_1=2\) であり，第2項以降は漸化式 \( a_{n+1}=\frac{3a_n-2}{2a_n-1} \) で与えられる。以下でこの数列の一般項 \(a_n\) を求める。数列 \(b_n=a_n-1\) は，初項が \( b_1 = \boxed{\phantom{0}} \)であり，第2項以降は漸化式 \( b_{n+1}=\frac{b_n}{2b_n+\boxed{\phantom{00}}} \) を満たす。初項と漸化式から，\(b_n>0\) が成り立つ。

\(b_1=2,\ b_{n+1}=\tfrac{b_n}{b_n+1}\)
\(b_1=1,\ b_{n+1}=\tfrac{b_n}{3b_n+1}\)
\(b_1=2,\ b_{n+1}=\tfrac{b_n}{2b_n+3}\)
\(b_1=1,\ b_{n+1}=\tfrac{b_n}{2b_n+1}\)

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正解Correct

4

\(b_1=a_1-1=1\)（答）。漸化式を変形して \(a_{n+1}-1\) や \(a_{n-1}\) を作りたいので，両辺から 1 を引いて右辺を変形する。 \( a_{n+1}-1 = \frac{3a_n-2}{2a_n-1}-1 =\frac{a_n-1}{2a_n-1} = \frac{a_n-1}{2(a_n-1)+1} \) より \(b_{n+1}=\frac{b_n}{2b_n+1}\)（答）。このように，求めたい式の形を優先して作り，他の部分を調整する変形の仕方は頻出である。

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

4

\(b_1=a_1-1=1\)（答）。漸化式を変形して \(a_{n+1}-1\) や \(a_{n-1}\) を作りたいので，両辺から 1 を引いて右辺を変形する。 \( a_{n+1}-1 = \frac{3a_n-2}{2a_n-1}-1 =\frac{a_n-1}{2a_n-1} = \frac{a_n-1}{2(a_n-1)+1} \) より \(b_{n+1}=\frac{b_n}{2b_n+1}\)（答）。このように，求めたい式の形を優先して作り，他の部分を調整する変形の仕方は頻出である。

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Question

数学

\(z_1=\dfrac{1+i}{1-i}\) とおく。さらに \(z_2=\dfrac{1+z_1}{1-z_1},\quad z_3=\dfrac{1+z_2}{1-z_2}\) とおく。このとき，\(z_4=\dfrac{1+z_3}{1-kz_3}\) が実数となるような実数 \(k\) の値は \(k=\) である。

\(3\)
\(2\)
\(6\)
\(9\)

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正解Correct

3

\(z_1\) を \(z_2\) に代入し，分母分子に \(1-i\) をかけて整理すると \(z_2=i\)，さらに \(z_3\) に \(z_2\) を代入して \( z_3=\frac{1+i}{1-i} \) を得る。これを \(z_4\) に代入し，分母分子に \(1-i\) をかけて整理すると \( z_4=\frac{(1-i)+2(1+i)}{3(1-i)+(1+i)}=\frac{-3+i}{(k+3)+(k-3)i} \) となる。これが実数となるのは，分母分子の実部と虚部の比が等しいときで \( (k+3):(k-3)=3:1 \) これを解いて \(k=6\)（答）。

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

3

\(z_1\) を \(z_2\) に代入し，分母分子に \(1-i\) をかけて整理すると \(z_2=i\)，さらに \(z_3\) に \(z_2\) を代入して \( z_3=\frac{1+i}{1-i} \) を得る。これを \(z_4\) に代入し，分母分子に \(1-i\) をかけて整理すると \( z_4=\frac{(1-i)+2(1+i)}{3(1-i)+(1+i)}=\frac{-3+i}{(k+3)+(k-3)i} \) となる。これが実数となるのは，分母分子の実部と虚部の比が等しいときで \( (k+3):(k-3)=3:1 \) これを解いて \(k=6\)（答）。

次の問題

Question

数学

命題「\(a\lt x\lt a+2\) ならば \(|x-4|≦ 2\)」が真となるような定数 \(a\) の値の範囲は \( ≦ a ≦ \) である。

\(2≦ a≦4\)
\(1≦a≦3\)
\(0≦a≦2\)
\(3≦a≦5\)

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正解Correct

1

「A ならば B」が真であるとき，A のすべての場合で B が成立する必要があり， \(a\lt x\lt a+2\) が \(|x-4|≦ 2\) にすべて含まれるような \(a\) の範囲を求める。絶対値を含む不等式を解くと，\(2≦x≦6\) であるため，それぞれの不等式が表す範囲を数直線上に表して考えよう。\(2≦a≦4\)（答）。

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

1

「A ならば B」が真であるとき，A のすべての場合で B が成立する必要があり， \(a\lt x\lt a+2\) が \(|x-4|≦ 2\) にすべて含まれるような \(a\) の範囲を求める。絶対値を含む不等式を解くと，\(2≦x≦6\) であるため，それぞれの不等式が表す範囲を数直線上に表して考えよう。\(2≦a≦4\)（答）。

次の問題

Question

数学

方程式 \( \log_2(x+1) - 2\log_2 x = 1 \) を考える。対数の真数である \(x+1\) と \(x\) はともに正である。このとき、この方程式を満たす \(x\) の値は \(x=\) である。

\(2\)
\(1\)
\(1/2\)
\(4\)

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正解Correct

2

真数が正であるから \(x>0\) で考える。対数方程式は \(\log_a x = \log_a u \Leftrightarrow x = u\) と２つの対数の比較から真数の関係を求めればよいので，式を変形して底が２の対数同士を比較しよう。左辺の \(2\log_2 x\) は右辺に移項して考えると \( \log_2(x+1)=\log_2(2x^2) \) となるので，\(x+1=2x^2\) を \(x>0\) の範囲で解いて \(x=1\)（答）。

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

2

真数が正であるから \(x>0\) で考える。対数方程式は \(\log_a x = \log_a u \Leftrightarrow x = u\) と２つの対数の比較から真数の関係を求めればよいので，式を変形して底が２の対数同士を比較しよう。左辺の \(2\log_2 x\) は右辺に移項して考えると \( \log_2(x+1)=\log_2(2x^2) \) となるので，\(x+1=2x^2\) を \(x>0\) の範囲で解いて \(x=1\)（答）。

次の問題

Question

数学

\(\dfrac{1+2i}{3+ki}\) が純虚数となるとき、実数 \(k\) の値として正しいものを選びなさい。

\(\tfrac{3}{2}\)
\(-3\)
\(0\)
\(-\tfrac{3}{2}\)

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正解Correct

4

分母と共役な複素数 \((3-ki)\) を、分母と分子にかけて計算。すると、分母から虚数部分（\(i\)を含む項）が無くなり、実数になる。純虚数となるためには、分子の実数部分が\(0\)になるような実数\(k\)を求めればよい。
\(k = -\tfrac{3}{2}\)（答）。

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

4

分母と共役な複素数 \((3-ki)\) を、分母と分子にかけて計算。すると、分母から虚数部分（\(i\)を含む項）が無くなり、実数になる。純虚数となるためには、分子の実数部分が\(0\)になるような実数\(k\)を求めればよい。
\(k = -\tfrac{3}{2}\)（答）。

次の問題

Question

数学

関数 \(f(\theta)=5\sin^2\theta-3\cos\theta-3\) において，\(\theta\) は \(0≦ \theta≦ \pi\) の範囲を動く。
\(f(\theta)=0\) のとき，\(\cos\theta\) の値は \(\cos\theta=\) または \(\cos\theta=\) である。
また，\(f(\theta)\) が最大となるときの \(\cos\theta\) の値は \(\cos\theta=\) である。

\(\cos\theta=-1 \text{ または } -\tfrac{2}{5},\cos\theta=\tfrac{3}{10}\)
\(\cos\theta=-1 \text{ または } \tfrac{2}{5},\cos\theta=-\tfrac{3}{10}\)
\(\cos\theta=\tfrac{2}{5} \text{ のみ},\cos\theta=-\tfrac{3}{10}\)
\(\cos\theta=-1 \text{ または } \tfrac{2}{5},\cos\theta=\tfrac{3}{10}\)

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正解Correct

2

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) を利用して，\(t=\cos\theta\) として \(f(\theta)\) を \(t\) の 2 次関数とする。あとは，\(\theta\) の範囲と \(t\) の範囲の関係に注意して，2次方程式を解く。 \(f(\theta)=0\) のとき，\(\cos\theta=-1\) または \(\cos\theta=\tfrac{2}{5}\)（答）。また 2 次関数を平方完成することで，最大値について考えていけばよい。 \(\cos\theta=-\tfrac{3}{10}\)（答）。

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

2

\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) を利用して，\(t=\cos\theta\) として \(f(\theta)\) を \(t\) の 2 次関数とする。あとは，\(\theta\) の範囲と \(t\) の範囲の関係に注意して，2次方程式を解く。 \(f(\theta)=0\) のとき，\(\cos\theta=-1\) または \(\cos\theta=\tfrac{2}{5}\)（答）。また 2 次関数を平方完成することで，最大値について考えていけばよい。 \(\cos\theta=-\tfrac{3}{10}\)（答）。

次の問題

Question

数学

\(\log_{2}\sqrt{x}+\log_{\sqrt{2}}x=10\) が成り立つとき、\(x\) の値は\(x=\)である。

\(4\)
\(8\)
\(16\)
\(32\)

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正解Correct

3

まずは真数の条件を調べる。対数方程式では各対数の底を揃えることが有効。次に対数の性質や底の変換公式を用いて、方程式の左辺を底が2である対数で1つにまとめよう。今回は\( \left(\frac{1}{2}+2\right)\log_{2}x=\frac{5}{2}\log_{2}x=10 \)とまとめられるため、\(x=16\) (答)。

不正解Not Correct

あなたの回答はでした

3

まずは真数の条件を調べる。対数方程式では各対数の底を揃えることが有効。次に対数の性質や底の変換公式を用いて、方程式の左辺を底が2である対数で1つにまとめよう。今回は\( \left(\frac{1}{2}+2\right)\log_{2}x=\frac{5}{2}\log_{2}x=10 \)とまとめられるため、\(x=16\) (答)。

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