あじばこ定期テストに挑戦！
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進捗
00
-
Question
数 学
正解Correct
1
「A ならば B」が真であるとき，A のすべての場合で B が成立する必要があり， \(a\lt x\lt a+2\) が \(|x-4|≦ 2\) にすべて含まれるような \(a\) の範囲を求める。 絶対値を含む不等式を解くと，\(2≦x≦6\) であるため， それぞれの不等式が表す範囲を数直線上に表して考えよう。\(2≦a≦4\)（答）。
不正解Not Correct
あなたの回答はでした
1
「A ならば B」が真であるとき，A のすべての場合で B が成立する必要があり， \(a\lt x\lt a+2\) が \(|x-4|≦ 2\) にすべて含まれるような \(a\) の範囲を求める。 絶対値を含む不等式を解くと，\(2≦x≦6\) であるため， それぞれの不等式が表す範囲を数直線上に表して考えよう。\(2≦a≦4\)（答）。
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Question
数 学
二次関数 \(y=ax^2+bx+3\) のグラフを \(x\) 軸方向に \(2\)、\(y\) 軸方向に \(k\) だけ平行移動すると、\(y=2x^2-3x+4\) のグラフに一致した。このとき \(a=\), \(b=\), \(k=\) である。
正解Correct
1
平行移動後の式を平方完成して係数を比較する。 \[ y=a(x-2)^2+b(x-2)+3+k =ax^2+(-4a+b)x+(4a-2b+3+k) \] これが \(2x^2-3x+4\) に一致するので \( a=2,\quad -4a+b=-3,\quad 4a-2b+3+k=4 \) より \( a=2,\quad b=5,\quad k=3. \)
不正解Not Correct
あなたの回答はでした
1
平行移動後の式を平方完成して係数を比較する。 \[ y=a(x-2)^2+b(x-2)+3+k =ax^2+(-4a+b)x+(4a-2b+3+k) \] これが \(2x^2-3x+4\) に一致するので \( a=2,\quad -4a+b=-3,\quad 4a-2b+3+k=4 \) より \( a=2,\quad b=5,\quad k=3. \)
-
Question
数 学
2 つの不等式 \(x^2-10x-24>0,\ (x+1)\,(x-a^2-a)<0\) が同時に成り立つ \(x\) が存在しないとき，定数 \(a\) の値の範囲は \(≦a≦\) である。
正解Correct
4
\(x^2-10x-24>0\) を解くと \(x\lt -2,\ 12\lt x\) であるから，\(-1\) と \(a^2+a\) の間の範囲がこの範囲に共通部分を持たない，つまり \(-2≦ a^2+a≦ 12\) となる \(a\) を求めれば良い。左側の不等式は常に成り立ち，右側の不等式を解くと \(-4≦ a≦ 3\) になり，これはすべて \(-2≦ a^2+a≦ 12\) に含まれるので \(-4≦ a≦ 3\)（答）。 範囲に含まれるかどうかの考察には数直線を使うとよい。
不正解Not Correct
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4
\(x^2-10x-24>0\) を解くと \(x\lt -2,\ 12\lt x\) であるから，\(-1\) と \(a^2+a\) の間の範囲がこの範囲に共通部分を持たない，つまり \(-2≦ a^2+a≦ 12\) となる \(a\) を求めれば良い。左側の不等式は常に成り立ち，右側の不等式を解くと \(-4≦ a≦ 3\) になり，これはすべて \(-2≦ a^2+a≦ 12\) に含まれるので \(-4≦ a≦ 3\)（答）。 範囲に含まれるかどうかの考察には数直線を使うとよい。
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Question
数 学
正解Correct
3
まずは真数の条件を調べる。対数方程式では各対数の底を揃えることが有効。次に対数の性質や底の変換公式を用いて、方程式の左辺を底が2である対数で1つにまとめよう。今回は\( \left(\frac{1}{2}+2\right)\log_{2}x=\frac{5}{2}\log_{2}x=10 \)とまとめられるため、\(x=16\) (答)。
不正解Not Correct
あなたの回答はでした
3
まずは真数の条件を調べる。対数方程式では各対数の底を揃えることが有効。次に対数の性質や底の変換公式を用いて、方程式の左辺を底が2である対数で1つにまとめよう。今回は\( \left(\frac{1}{2}+2\right)\log_{2}x=\frac{5}{2}\log_{2}x=10 \)とまとめられるため、\(x=16\) (答)。
-
Question
数 学
正解Correct
4
分母と共役な複素数 \((3-ki)\) を、分母と分子にかけて計算。すると、分母から虚数部分（\(i\)を含む項）が無くなり、実数になる。純虚数となるためには、分子の実数部分が\(0\)になるような実数\(k\)を求めればよい。
\(k = -\tfrac{3}{2}\)（答）。
不正解Not Correct
あなたの回答はでした
4
分母と共役な複素数 \((3-ki)\) を、分母と分子にかけて計算。すると、分母から虚数部分（\(i\)を含む項）が無くなり、実数になる。純虚数となるためには、分子の実数部分が\(0\)になるような実数\(k\)を求めればよい。
\(k = -\tfrac{3}{2}\)（答）。
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Question
数 学
\(x,y\) についての式\(P=x^2-6xy+10y^2-4y+4\)は\(P=\)\( (x-\) \(y)^2 + (y-\) \()^2 \)と表すことができるから，\(P=0\) を満たす実数 \(x,y\) の値は\(x=\) ， \(y=\) である。
正解Correct
3
まず \(P\) を \(x\) の 2 次式とみて平方完成し，2 乗でまとめられなかった部分を \(y\) の 2 次式とみて因数分解する。 \( P=(x-3y)^2+(y-2)^2 \quad (\text{答}) \) 次に，変形した \(P\) の式が \((x-3y)^2≧0\)，\((y-2)^2≧0\) であることに着目すると， \(x-3y,\ y-2\) のどちらも 0 にならないと，\(P=0\) を満たさないことがわかる。よって \( x=6,\quad y=2 \quad (\text{答}) \)
不正解Not Correct
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3
まず \(P\) を \(x\) の 2 次式とみて平方完成し，2 乗でまとめられなかった部分を \(y\) の 2 次式とみて因数分解する。 \( P=(x-3y)^2+(y-2)^2 \quad (\text{答}) \) 次に，変形した \(P\) の式が \((x-3y)^2≧0\)，\((y-2)^2≧0\) であることに着目すると， \(x-3y,\ y-2\) のどちらも 0 にならないと，\(P=0\) を満たさないことがわかる。よって \( x=6,\quad y=2 \quad (\text{答}) \)
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Question
数 学
正解Correct
3
着目すべきは \( 4^x=(2^2)^x=2^{2x} \) である。ここで \( t=2^x \) とおく。また \( 2^{2-x}=4\cdot 2^{-x} \) と変形できる事実を用いて，もとの方程式を \(t\) の3次方程式に書き換える。 \(t>0\) に注意してその解を求め，最後に \(t=2^x\) を用いて \(x\) に戻せばよい。 \( x=2 \quad（答） \)
不正解Not Correct
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3
着目すべきは \( 4^x=(2^2)^x=2^{2x} \) である。ここで \( t=2^x \) とおく。また \( 2^{2-x}=4\cdot 2^{-x} \) と変形できる事実を用いて，もとの方程式を \(t\) の3次方程式に書き換える。 \(t>0\) に注意してその解を求め，最後に \(t=2^x\) を用いて \(x\) に戻せばよい。 \( x=2 \quad（答） \)
-
Question
数 学
数列 \(\{a_n\}\) は，初項が \(a_1=2\) であり，第2項以降は漸化式 \( a_{n+1}=\frac{3a_n-2}{2a_n-1} \) で与えられる。以下でこの数列の一般項 \(a_n\) を求める。 数列 \(b_n=a_n-1\) は，初項が \( b_1 = \boxed{\phantom{0}} \)であり，第2項以降は漸化式 \( b_{n+1}=\frac{b_n}{2b_n+\boxed{\phantom{00}}} \) を満たす。初項と漸化式から，\(b_n>0\) が成り立つ。
正解Correct
4
\(b_1=a_1-1=1\)（答）。 漸化式を変形して \(a_{n+1}-1\) や \(a_{n-1}\) を作りたいので，両辺から 1 を引いて右辺を変形する。 \( a_{n+1}-1 = \frac{3a_n-2}{2a_n-1}-1 =\frac{a_n-1}{2a_n-1} = \frac{a_n-1}{2(a_n-1)+1} \) より \(b_{n+1}=\frac{b_n}{2b_n+1}\)（答）。 このように，求めたい式の形を優先して作り，他の部分を調整する変形の仕方は頻出である。
不正解Not Correct
あなたの回答はでした
4
\(b_1=a_1-1=1\)（答）。 漸化式を変形して \(a_{n+1}-1\) や \(a_{n-1}\) を作りたいので，両辺から 1 を引いて右辺を変形する。 \( a_{n+1}-1 = \frac{3a_n-2}{2a_n-1}-1 =\frac{a_n-1}{2a_n-1} = \frac{a_n-1}{2(a_n-1)+1} \) より \(b_{n+1}=\frac{b_n}{2b_n+1}\)（答）。 このように，求めたい式の形を優先して作り，他の部分を調整する変形の仕方は頻出である。
-
Question
数 学
\(\sin\theta+\cos\theta=\tfrac{2}{3}\) であるとき、 \(\sin\theta\cos\theta=\) -である。
また、\(\sin^3\theta+\cos^3\theta=\) である。正解Correct
1
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) が利用できるので、前半は \(\sin\theta+\cos\theta=\tfrac{2}{3}\) の両辺を 2 乗して計算する。 \( \sin\theta\cos\theta=-\tfrac{5}{18} \) 後半は因数分解の公式を用いて 3 次式を \((1 次式)\times(2 次式)\) の形に変形してから値を代入するとよい。 \( \sin^3\theta+\cos^3\theta=\tfrac{23}{27} \)
不正解Not Correct
あなたの回答はでした
1
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\) が利用できるので、前半は \(\sin\theta+\cos\theta=\tfrac{2}{3}\) の両辺を 2 乗して計算する。 \( \sin\theta\cos\theta=-\tfrac{5}{18} \) 後半は因数分解の公式を用いて 3 次式を \((1 次式)\times(2 次式)\) の形に変形してから値を代入するとよい。 \( \sin^3\theta+\cos^3\theta=\tfrac{23}{27} \)
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Question
数 学
\(xy\) 平面上に 2 点 \(P(-1,0),\ Q(1,0)\) がある。\(a,\ b\) を実数として，方程式 \( (x-a)^2+(y-b)^2=4 \) によって表される円が線分 \(PQ\) と共有点を持つとする。 \(b\) がとり得る値の最大値は である。
正解Correct
4
方程式によって表された円は，\((a,b)\) 中心，半径 \(2\) の円である。線分と円が共有するには，線分と中心の距離が円の半径以下であることが必要であるから，\(-2≦ b≦ 2\) が必要である。あとは，\(b=2\) となる具体的な円があることを示せば良く，例えば \((0,2)\) に中心を持つ半径 \(2\) の円は原点で線分と共有する。以上より \(b\) の最大値は \(2\)（答）。
不正解Not Correct
あなたの回答はでした
4
方程式によって表された円は，\((a,b)\) 中心，半径 \(2\) の円である。線分と円が共有するには，線分と中心の距離が円の半径以下であることが必要であるから，\(-2≦ b≦ 2\) が必要である。あとは，\(b=2\) となる具体的な円があることを示せば良く，例えば \((0,2)\) に中心を持つ半径 \(2\) の円は原点で線分と共有する。以上より \(b\) の最大値は \(2\)（答）。